確率分布
学習内容
２項分布，ポアッソン分布，正規分布などの確率分布の性質とグラフを理解する。
上記確率分布に基づく確率を計算する。
ある確率分布に対する確率変数を求める。
Excel の関数
BINOMDIST・・・２項分布に従う場合の確率を求める。
POISSON・・・ポアッソン分布に従う場合の確率を求める。
NORMDIST・・・正規分布に従う場合の確率を求める。
NORMINV・・・正規分布の場合の確率を与える確率変数を求める。
例題１ ２割打者が１０回打席に入って
１）３回ヒットを打つ確率を求めよ。
２）５回以上ヒットを打つ確率を求めよ。
３）少なくとも１回ヒットを打つ確率を求めよ。
４）この打者がヒットを打つ回数の期待値を求めよ。四死球は考えないとする。
[解法]
各回の成績は独立とするとｒ回ヒットを打つ確率は２項分布に従う。
Ｐ(ｒ)＝nＣrｐｒ(１−ｐ)10−ｒ
においてｎ＝１０，ｐ＝０.２として各列の値を計算して積をとると
ただし最後から２番目の列は直接２項分布関数(BINOMDIST)より求めた。これより
１）求める確率はＰ(３)＝0.20である。
２）Ｐ(５)よりＰ(１０)までを加えて 0.033である。
３）ヒットを全く打たない確率は 0.1073742 だから，少なくとも１回ヒットを打つ確率は
１−Ｐ(0）＝1 − 0.1073742 ＝0.89 である。
４）期待値はｒＰ(r)の合計で２である。
二項分布の表作成
例題２
5％の不良品を含む製品１０個のうち２個以上の不良品が現れる確率を求めよ。
[解法]
ｍ＝ｎｐ＝10×0.05＝0.5のポアッソン分布に従う。
Ｐ(r)＝ｅ−ｍｐｒ／ｒ！を計算すると
ただし最後の列は直接ポアッソン分布関数(POISSON)より求めた。Ｐ(２)よりＰ(１０)までを加えて 0.090，すなわち９％の確率である。
例題３
１０００人の受験生の成績は平均45.2点，標準偏差18,2点の正規分布であった。
１）合格点が55点であるとき合格者数を求めよ。
２）45点以上の不合格者は何人いるか
[解法]
ｍ＝45.2，σ＝18.2を
ｆ(x)＝exp［−(x−m)２／（2σ２）]／(σ√２π）
に代入し確率密度を計算する。ただしｚ＝(x−m)／σ
正規分布の表作成
最後から２番目の列は NORMDIST 関数より関数形式 False として計算した確率密度,また最後の列はNORMDIST 関数より関数形式 True
として計算した確率値である。
Ｐ(ｘ＜５５)＝0.704871であるから，Ｐ(ｘ＞５５)＝１−0.704871＝0.295129である。これは１０００人中の２９５人に当たる。
２）Ｐ(ｘ＜４５)＝0.495616であるから，Ｐ(４５＜ｘ＜５５)＝0.704871−0.495616＝ 0.209255
であり，これは１０００人中の２０９人に当たる。
例題４
前問で１０位以内に入るには何点以上取らねばならないか。５０位の場合は何点か。
[解法]
１０位とは上位１％であるからＰ(ｘ＜ｘ0）＝0.99 となるようなｘ0を求めればよい。上表の値から補間すると８５＜ｘ0＜９０であることは解るが，詳しい値を求めるには NORMINV関数を使って87.53942309が求まるが，それより大きい整数だから８８点。同様に５０位の場合は５％だからＰ(ｘ＜ｘ0）＝0.95
となるようなｘ0が求まり７６点が必要である。
問題１ サイコロを１０回振って１の目がｘ回出る確率を表とグラフで表せ。
問題２ 前問で１の目が１回出たら１点，２回出たら２点，というように点数を付けると，何点取れると期待されるか。
問題３ コインを１０回放り上げて表がｘ回出る確率を表とグラフで表せ。また５０回行なった場合は１０回の場合と比べてグラフはどのように変化するか。
問題４ ○×問題１０題をデタラメに答えて合格する確率を求めよ。合格点は60点である。３択,４択の場合，また２０題,３０題の場合ではどうか。 参照
問題５ 5000人の集団の身長の平均が171.3cm，標準偏差が12.5cmであるとき次のものを求めよ。
１）身長180cm以上である確率
２）身長160cm〜170cmである確率
３）トップテンに入るための身長
問題６ 試験を受けた2人の結果は，点数は４８と５２で,偏差値は４５と４９であった。これより平均値，標準偏差，成績分布を求めよ。 参照
問題７ ２項分布を表すグラフを描け。
問題８ ポアッソン分布を表すグラフを描け。
問題９ 正規分布を表すグラフを描け。
問題１０ ２項分布やポアッソン分布でｎが大きくなるにつれて正規分布に近づくことをグラフで表せ。