最小二乗法
学習内容
与えられたｎ組のｘ，ｙデータから定義式に従って，最小二乗法の係数を求める。
LINEST，SLOPE，INTERSEPT などの関数を用いてこの定数を求める。
近似直線を散布図に書き加える。
近似２次回帰式を求める。
ｘ，ｙ，ｚ データから多重線形回帰式を求める。
Excel の関数 例題１ 次のデータは１２人の学生の英語と数学の試験の点数である。
これより回帰直線を求めよ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
AVERAGE・・・平均値を求める
SLOPE・・・回帰直線の傾きｃ1を求める
INTERSEPT・・・回帰直線の切片ｃ0を求める
LINEST・・・ｃ1，ｃ0を同時に求める
ｘ（英語） 45 85 38 92 21 39 18 64 39 53 26 40
ｙ（数学） 53 82 45 95 41 35 43 42 89 48 30 27
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［解説］
求める直線の式を
ｙ＝ｃ0 ＋ ｃ1ｘ とする。ｃ0，ｃ1を定義式にそって計算する。ｘ，ｙ，ｘ2 ｘｙの平均はそれぞれ 46.67 ， 52.5
，2678.83， 2780.67 であるから
ｃ1＝[ｘｙの平均−(ｘの平均)･(ｙの平均)]／[ｘ2の平均−(ｘの平均)2]
＝0.66 ，
ｃ0＝ (ｙの平均)−ｃ1(ｘの平均) ＝21.70
また，LINEST
関数を使った場合の数値は赤色で，SLOPEおよび INTERSEPT 関数で求めた場合 の数値は青色で記されている。
これに基づいて Ｙ＝ｃ0＋ｃ1ｘ を各ｘについて計算しグラフ化する。
例題２ 例題1と同じデータを使って２次回帰式を求めよ。
［解説］ Ｙ＝ｃ0＋ｃ1ｘ＋ｃ2ｘ2 の係数を求める。 ｘ2を計算し，LINEST
関数を使えば容易に求まり,数値は赤色で記されている。
ｃ0＝49.46， ｃ1＝-0.577， ｃ2＝0.0112。
一方，正規方程式は次のようにして作られる。
ｙ＝ｃ0＋ｃ1ｘ＋ｃ2ｘ2･･･(1) の両辺の和をとる。
Σｙ＝ｃ0Σ＋ｃ1Σｘ＋ｃ2Σｘ2 ･･･(2)
(1)の両辺にｘを掛けて和をとる。
Σｘｙ＝ｃ0Σｘ＋ｃ1Σｘ2＋ｃ2Σｘ3 ･･･(3)
(1)の両辺にｘ2を掛けて和をとる。
Σｘ2ｙ＝ｃ0Σｘ2＋ｃ1Σｘ3＋ｃ2Σｘ4･･･(4)
(2)，(3)，(4) の各和の部分を計算すると，ｃ0，ｃ1，ｃ2 に関する連立方程式ができ， 結局３元連立一次方程式を解く問題に帰する。 Σ＝12
Σｘ＝560 Σｘ2＝32146 Σｘ3＝2165138 Σｘ4＝162636694
Σｙ＝630 Σｘｙ＝ 33368 Σｘ2ｙ＝2159796
を代入すると正規方程式は
12ｃ0 ＋ 560ｃ1＋
32146ｃ2＝ 630･･･(2)
560ｃ0 ＋ 32146ｃ1＋ 2165138ｃ2＝ 33368･･･(3)
32146ｃ0 ＋ 2165138ｃ1＋162636694ｃ2＝2159796･･･(4)
問題１ 下表は温度をいろいろ変えて金属の電気抵抗値を測ったものである。
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温度（℃） 20 35 50 70 85 100
抵抗（Ω） 50.3 54.2 55.1 60.9 68.3 66.5
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これより抵抗を温度の関係を表す式とグラフを求めよ。 また60℃の時の抵抗値はいくらか。
問題２ 学生の身体検査表より身長と体重，身長と座高の回帰式を作れ。
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身長（cm） 162 175 155 185 177 188 170 164 168
体重（kg） 50.3 64.2 55.1 70.9 68.3 86.5 72.8 58.7 83.4
座高（cm） 78 59 50 90 85 100 80 78 82
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