課題演習

宇宙の膨張

　宇宙論を初めて数理科学的に取り組んだのはもちろんＥｉｎｓｔｅｉｎである。一般相対論，４次元時空のテンソル方程式は一様等方，圧力なしの条件で運動方程式は
　　　　a’’＝－GM/a²＋Λc²a/3　　　　　　　　　①
そのエネルギー積分は
　　　　a'^２＝2GM/a＋Λｃ^２a²/3－ｋｃ² ＝（8πGρ＋Λｃ^２）a²/3－ｋｃ²＝（A/a＋Λa^２/3－ｋ）ｃ²②^{と記される。ただし}
ａ・・・宇宙のＳcａｌｅＦａｃｔｏｒ　　'　は時間微分
Λ・・・宇宙定数
ｋ・・・曲率パラメータ　　　－1なら open，　１なら close，　　0 なら flat。
Ａ＝２ＧＭ／ｃ^２＝8πGρa³／(3c²) とする。　constant
①の第１項は重力で第2項は宇宙力である。 ②の初めの2項はポテンシアルU(a)を－2倍したもので，第3項は全エネルギーの2倍である。

Λ=0　のとき　Freedmannの解　　②の解は　　　
k＝0　 a＝（9A/4）^1/3（ct）^2/3
　ｋ＝１　　a＝（１－cosξ）A／2　　　ｃｔ＝（ξーsinξ）A／2 ・・・ Cycloid いつかは収縮
　ｋ＝－１　a＝（coshξ－１）A／2　　ｃｔ＝（sinhξ－ξ）A／２
A＝0 （空の宇宙），k＝－１の場合には a は t に比例する　　Milneの解　

Λ≠0　のときは宇宙斥力が生じ膨張は加速される.。もともと宇宙力とは Einstein が　a=const（定常）　ｋ＝１（有限）　とするために重力とつりあわせるため，導入したものだ。このとき①の左辺＝0，かつ②の左辺=0，したがって
　　Λ＝4πGρ／ｃ^２（これを Λ_Eとする）　　　ａ^２＝１／Λ_E（このａを a_Eとする）
さらにＡ＝２a_E／３である。なお Einstein の宇宙は　dU/da=0 ，すなわちポテンシアル頂上の場合である。　
この a_Eと Λ_E を使って②を書き直そう。
　　　a'²＝[2a_E/(3a)＋(Λ/Λ_E)（a/a_E）²/3－ｋ] ｃ²さらに　p＝Λ/Λ_E，　y＝ａ/ａ_Eとすると　　　
　　　y'²＝[2/(3y)＋py²/3－ｋ]（ｃ/a_E）²③ｃ/a_E＝１とし，宇宙力の強さはパラメータ p にさまざまな値を与えて，③を数値的に解く。
結果は k＝１かつ p ≦１の時（すなわち閉じた空間で宇宙力の弱いとき）以外は膨張がやむことはない。k＝１で p＝１のとき，ａは漸近的に有限値に収束する。その値は Einstein　の宇宙半径 a_Eである。k＝１で p＞１のとき，a は a_Eあたりで一時膨張速度は低下するが再び急増する。（LeMaitre宇宙）。なお A＝0 の場合は deSitter の解（指数関数的急膨張）に，また p = 0　の場合は上記 Freedmann の解に移行する。 Size-Timeの計算結果
　　　　　　　　岩波講座　現代物理学の基礎12「宇宙物理学」第9章より　　　　

　a'/a=H　・・・Hubble定数　　　ρ_ｃ＝3H²／（８πG）　・・・臨界密度　を定義し
　 Ω＝ρ／ρ_ｃ＝8πGρ／（3H²）　　　λ＝Λc²／（3H²）　　κ＝k(c／aH）²　とおけば③は
　　　　　　　　　　　Ω＋λ－κ＝１　
また λ／Ω 比を計算すると Λ/Λ_E（＝ｐ）　の半分である。
現在観測値は　Ω～0.3，　λ～0.7， κ＝0　と推定されていて，ｐ～５にあたり宇宙力が重力に勝っている（加速膨張中）。