χ２検定
　

学習内容
実測度数，期待度数，帰無仮説，有意水準などの用語を理解する。
定義式に基づいてχ2を計算して検定する。
Excel関数を使ってχ2検定を行なう。
Excel の関数
chiinv (a,n)・・・自由度n ，有意水準 aに対する χ2を与える
chidist (χ2,n)・・・自由度n に対する確率 P(＞χ2)を与える
chitest (実測度数,期待度数）・・・自由度（行数−１)×(列数−１）に対する確率 P(＞χ2)を与える       

例題１ 下表はサイコロを６０回振って各々の目の出る度数をまとめたものである。このサイコロは正常といえるか，有意水準５％ で検定せよ。 
　　　　　　　　　　−−−−−−−−−−−−−−−−− 
　　　　　目の数     １   ２    ３   ４     ５     ６ 
　　　　　度数 　　 １４   ５  １２   ５   １１  １３ 
　　　　　　　　　　−−−−−−−−−−−−−−−−−
［解説］ ２の目,４の目は出にくそうである。正常なサイコロならどの目も１０回出るだろう。このように分布がある規則に則っているかどうかにはχ2検定を行う。理論はテキストに譲ってExcelの関数としてはchitestを使う。「サイコロは正常でどの目も１０回出る」という仮説（帰無仮説）を立て，それが起こる確率を計算し，有意水準(通常0.05)より小さければその仮説を棄却するのである。この場合サイコロが正常である確率は１５％にも達するのでその仮説は否定できない。

例題２ ９２，６０３，１１３７，１２５４，９８７，１２５ は ２項分布に従っているか？
［解説］ これら６つの数が自由度 ｎ＝６−１＝５に対する２項分布に従うとしてその期待度数を計算する。
          ２項係数は ５Ｃk＝５！／（５！×ｋ！）
                                  ＝１          （ｋ＝０，５）
                                  ＝５          （ｋ＝１，４）
                                  ＝１０        (ｋ＝２，３）
これら２項係数の総和は３２であり,実測度数の総和は３８６８だから各々の期待度数は
          ３８６８×１／３２＝１２０．８８     （ｋ＝０，５）
          ３８６８×５／３２＝６０４．３８     （ｋ＝１，４）
          ３８６８×１０／３２＝１２０８．７５ (ｋ＝２，３） となる。
これより各々の（実測度数−期待度数）2／期待度数 ,その和を求めると χ2＝１７.５７７ 。　一方, chiinv 関数より有意水準 ０.０１に対してχ02＝１５.０８６ また,有意水準 ０.０５に対してχ02＝１１.０７０ であるから いずれの場合でも χ2 ＞χ02 よって帰無仮説は棄てられ，２項分布に従っているとはいえない。 実際，この実測度数，期待度数に対応する確率を chitest 関数より，上記χ2，自由度に対する 確率を chidist 関数より求めると０.３５％である。


例題３ 甲乙の２つの地区で血液型の分布を調査した。 この結果より分布の違いがあるといえるか？
                     甲          乙
          −−−−−−−−−−−−
              Ａ     ４３％      ３０％
              Ｏ     ３１         ４０
              Ｂ    １９          ２０
             ＡＢ     ７          １０
           −−−−−−−−−−−−
［解説］地区による違いはないという帰無仮説をたてる。甲乙の平均の各血液型の分布は 36.5，35.5，19.5，8.5 % であり，これを期待度数とする。実測度数，期待度数ともに２×４の表値となり，自由度は（２−１）×（４−１）＝３。chitest 関数によってその確率を求めると，0.260 となり有意水準 0.05 を越えるので帰無仮説は棄てられない。よって分布の違いがあるといえない。


例題４ 住居の種類を地域によって分類した調査表からその違いを調べる。
                        1個建  ２軒長屋 ﾃﾗｽﾊｳｽ
     −−−−−−−−−−−−−−−−−
           北部        ９５     ２９７      ２４２
           中部      １７５     ４１７      ３６２
           南部      ７０３     ９９４      ８６１
     −−−−−−−−−−−−−−−−−
［解説］ 地域による違いはないという帰無仮説をたてる。 各行，各列について計を求めると期待度数は
        １個建，北部の期待度数は （北部の計）×（１個建の計）／（総計）
     ２軒長屋，北部の期待度数は （北部の計）×（２軒長屋の計）／（総計）
     ﾃﾗｽﾊｳｽ，北部の期待度数は （北部の計）×（ﾃﾗｽﾊｳｽ）／（総計）
        １個建，中部の期待度数は （中部の計）×（１個建の計）／（総計）
       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
   というように計算できる。chitest 関数を使って 表（Ａ）の実測度数，期待度数に対する確率 を求めると 7.6E-13 となり帰無仮説は棄てられる。自由度は（３−１）×（３−１）＝４である。 しかし表を（B）にように書くと確率を1.3E-10 と計算してしまうが，これは自由度９−１＝８ の場合となるので注意。
        解答


問題１ 金曜には交通事故が多いといわれるが下表からそうだといえるか，有意水準５％ で検定せよ。 

　　　　　　　　　　−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
　　　　　曜日     日  　 月   火   水    木     金　　土 
　　　　　度数 　 １４  １８  １２  １３  １４  ２３　１８　 
　　　　　　　　　　−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

問題２ 薬を飲んで場合，飲まない場合，それぞれ病気に罹ったか否かの集計表がある。
                                       病気  健康
               −−−−−−−−−−−−
             薬を飲んだ          ２０     ５０
             薬を飲まず          １５    １５
              −−−−−−−−−−−−
この薬は効いたといえるか，有意水準５％ で検定せよ。

問題３ ０から９までランダムな整数を１００個選んでその頻度分布の一様性を，有意水準５％ で検定せよ。

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